Enigme
Pour tuer le temps pendant la Coupe du Monde, Franck R. a mis à profit le grand jardin de sa propriété dans la campagne bavaroise pour y cultiver fruits et légumes. Et justement, aujourd’hui, il est temps de récolter les framboises ! Pour cela, Kaiser Franck dispose d’un morceau de carton carré de 10 cm de côté. Il décide de découper un petit carré identique à chaque coin de son carton. En relevant les bords, il pourra ainsi fabriquer un récipient propre à contenir les fragiles baies.
De quelle longueur doit être le côté du carré qu’il découpe pour que son récipient puisse contenir le maximum de framboises ?
Solution
Le but est de maximiser le volume du récipient obtenu. Appelons x la longueur du petit carré. Les côtés du récipient seront de longueur 10-2*x, et la hauteur sera de longueur x. Le volume du récipient se modélise donc par l’équation V(x) = x*(10-2*x)^2.
Le problème revient donc à étudier la fonction V sur l’intervalle [0;5[ (car de manière évidente, il est impossible que x soit plus grand que 5) pour en trouver le maximum. Pour trouver les extrema de V, il faut chercher les valeurs de x pour lesquelles la dérivée s’annule (cf. cours de 1ère S).
Calculons la dérivée :
V'(x) = 12*x^2 – 80*x + 100
Simplifions :
V'(x) = 0 <=> 12*x^2 – 80*x + 100 = 0
<=> 3*x^2 – 20*x + 25 = 0
Calculons le discriminant de ce polynôme du second degré :
d = 20^2 – 4*3*25 = 100
Les racines de ce polynôme sont donc :
x1 = (20 + sqrt(100))/6 = 5
x2 = (20 – sqrt(100))/6 = 5/3
x2 = 5/3 est donc la seule valeur pour laquelle V admet un extremum sur [0;5[.
Il reste à vérifier que cet extremum est bien un maximum. Pour cela, il faut montrer que V’ est positive sur [0;5/3[ et négative sur ]5/3;5[. Le théorème des valeurs intermédiaires nous permet d’affirmer qu’il suffit en fait de vérifier la positivité (respectivement négativité) d’une seule des valeurs de l’intervalle [0;5/3[ (respectivement ]5/3;5[).
V'(1) = 32 > 0
V'(2) = -12 < 0
x2 = 5/3 est donc bien un maximum de V
Conclusion : Franck R. va découper des carrés de côté 5/3 = 1.6667 cm. Il obtiendra ainsi un volume de 74.074 cm².