Énigme
Pour être embauché à EURODECISION, quatre futurs diplômés d’une école d’ingénieurs, Aziz, Bathilde, Caroline et Damien passent un certain nombre de tests (les mêmes pour tous). Céline, la DRH, a choisi ces tests parmi 9 : modélisation algorithmique, statistiques, informatique, pricing, anglais… (il y a donc entre 1 et 9 tests passés par les candidats). Pour chacun des tests, les mêmes notes a,b,c,d (0<d<c<b<a entiers) sont attribuées aux candidats dans l’ordre de leur classement. Il n’y a pas d’ex-aequo.
Aziz obtient au total 25 points, Bathilde 20 points, Caroline 28 points et Damien 19 points.
Caroline n’a jamais gagné un seul test et elle a été moins bien classée au test de modélisation algorithmique qu’au test de statistiques. Damien a été dernier dans le test d’informatique.
Déterminer le nombre de tests passés, les valeurs des notes a/b/c/d et les notes obtenues par chaque étudiant à chaque test.
Méthode de résolution
- Détermination du nombre de tests
Soit n le nombre de tests. n <= 9 d’après l’énoncé. n >= 3 car il y a au moins les tests de modélisation algorithmique, de statistiques et d’informatique.
Le nombre total de points distribués est égal à n x (a + b + c + d) mais aussi égal à 25 + 20 + 28 + 19 = 92. On en déduit que n divise 92 = 2x2x23.
Comme 3 <= n <= 9, on en déduit qu’il y a 4 tests. On note au passage que a + b + c + d = 23.
- Détermination de b
Comme Caroline n’a jamais gagné de test (et donc jamais eu a points à un test) et a eu au moins 2 classements différents, on en déduit que 4b > 28 et donc b >= 8.
Comme a >= b+1, c >= 2 et d >= 1, on sait que b + (b+1) + 2 + 1 <= 23 dont on déduit que b <= 9.
Si b = 9, le quadruplet (a,b,c,d) peut prendre deux valeurs possibles : (11,9,2,1) ou (10,9,3,1). Dans tous les cas, le score de Caroline ne peut s’obtenir que par 3×9 + 1×1 = 28. Le score de Bathilde (20) devient alors inaccessible dans les deux configurations.
On en déduit que b = 8.
- Détermination des autres notes
Comme b vaut 8, les deux seules possibilités pour (a,b,c,d) sont (9,8,4,2) et (10,8,4,1).
– Cas 1 : (a,b,c,d) = (9,8,4,2)
Le score de Caroline (aucune première place) s’obtient forcément par 3×8 + 1×4 = 28
Le score de Damien par 1×9 + 2×4 + 1×2 = 19
Bathilde (20 points) ne peut pas avoir gagné de tests puisque sinon son score est impossible à atteindre.
Aziz (25 points) a donc gagné 3 tests, ce qui aboutit à une incompatibilité (3×9 = 27 > 25)
– Cas 2 : (a,b,c,d)=(10,8,4,1)
Le score de Caroline s’obtient (aucune première place) forcément par 3×8 + 1×4 = 28.
Le score de Damien par 1×10 + 2×4 + 1×1 = 19.
Le score d’Aziz par 2×10 + 1×4 + 1×1 = 25.
Le score de Bathilde par 1×10 + 1×8 + 2×1 = 20.
Le cas 2 est donc le seul possible.
- Détermination des notes obtenues par chacun à chaque test
Caroline ayant été moins bien classée en modélisation, on en déduit qu’elle a eu 4 points en modélisation et 8 sur les autres tests.
Bathilde a eu le seul 8 points restant (en modélisation).
Damien a eu 1 point en informatique d’après l’énoncé.
Comme il reste à Bathilde 2 fois 1 point et 1 fois 10 points, il a forcément eu 10 en informatique et 1 en statistiques et pricing.
On en déduit aisément les notes d’Aziz puis de Damien.
