Énigme
Soient 9 cartes 1,2,3…9 que l’on dispose en 3 lignes de 3 cartes, et donc 3 colonnes selon le modèle suivant :
A B C
D E F
G H I
Trouvez la bonne disposition afin que la somme du nombre (de 3 chiffres) de la première ligne et du nombre de la seconde ligne soit égale au nombre de la troisième ligne, et que cette somme soit
– maximum
– ou minimum
Autrement dit (ABC)+(DEF)=(GHI) ; GHI max ; ou GHI min
Solution
Le maximum est 981 (324 + 657) ou (235 +746) ou toute variante par permutation de ligne dans une colonne
Le minimum est 459 (173 + 286). Et ses variantes par permutation.
Explications :
Remarquons que la somme, GHI, est toujours un multiple de 9. En effet, soient L1, L2, L3 les nombres représentés par les 3 lignes, nous avons :
- L1 = 100xA+10xB+C ; L2 = 100xD+10xE+F ; L3 =100xG+10xH+I
- L1+L2+L3 = 100x (A+D+G) +10x (B+E+H) +C+F+I (1)
- L1+L2-L3 =0 (2)
- (1)-(2) => 2 x L3 = 100x (A+D+G) +10x (B+E+H) +C+F+I= 100x(A+B+C+D+E+F+G+H+I)-90x(B+E+H)-99x(C+F+I)
Or, A+B+C+D+E+F+G+H+I = 45 = 9×5 est multiple de 9 et, par suite, 2xL3 est multiple de 9. L3 est donc un multiple de 9.
Rappel : Tout multiple de 9 est caractérisé par le fait que la somme de ses chiffres est multiple de 9.
D’autre part dans la suite on suppose que A<D, B<E , C<F puisque la somme ne change pas en permutant dans une colonne les chiffres de la ligne 1 ou 2. Pour trouver la somme maximum prenons G=9 ; H=8 et donc I=1. Il en découle que C+F= 11 avec les chiffres restants (soit 4+7, soit 5+6).
- Cas 4+7 : pour obtenir G=9 une seule solution : A=3, D=6 et donc B=2, E=5
- Cas 5 +6 : pour obtenir G=9, une seule solution A=2, D=7 et donc B=4 et E=3
981 est le plus fort multiple de 9 < 987.
Pour trouver la somme minimum, testons G=3. Cela implique A=1 et D=2, et B+E< 10 ; les seuls multiples de 9 commençant par 3 ne présentant pas de 0, de 1, de 2 ou de chiffres doublés sont 369, 378, 387 ou 396.
B+E <10 et B>3 et E>3 => B+E =9 ce qui élimine les 3 premières sommes. Reste 396.
(A=1) => (F=8) (pour éviter la retenue, 8 ne peut être dans la colonne des dizaines) donc C+8=16 ce qui est impossible.
On en conclut que le minimum est supérieur à 400. G=4 ne peut être obtenu que de deux façons :
- A=1 et D=3
- ou A= 1 et D =2 avec B+E>13 (puisqu’il faut une retenue et que 1 et 2 sont utilisés).
Le premier candidat multiple de 9 est 459 ; les précédents contiennent soit 0, soit 1, soit le couple (2,3). Etudions ce résultat :
(H=5) => B+E=15 puisque B+E=5 n’est pas possible faute de ne pouvoir disposer de la combinaison 1+4 ou 2+3. B+E= 15 => B= 7 et E = 8 seule combinaison possible (6+9 impossible). On est donc dans le cas A=1 et D=2, par suite C= 3 et F = 6.
173
+ 286
= 459