Enigme
Aurais-je mon exam en faisant des impasses ?
Eléonore a des examens à passer. Comme elle a pris du retard dans ses révisions, elle aimerait optimiser son choix de chapitres à apprendre par cœur.
Il y aura 6 questions à l’examen, chacune portant sur un chapitre différent. Les candidats devront répondre de manière très pertinente à 2 d’entre elles. Le cours, qui portait sur 13 chapitres, a duré 16 semaines, et le professeur, charmant, avait 35 ans.
Eléonore n’est pas très matheuse et sollicite donc son colocataire, ingénieur chez EURODECISION, pour optimiser ses révisions. Combien de chapitres devra-t-il lui conseiller de réviser pour avoir une probabilité d’au moins 9 chances sur 10 de répondre à 2 questions correctement ?
Solution
Nous proposons 3 approches pour résoudre cette énigme. Les trois ont été proposées dans les réponses, bravo !
1/ Par une loi de probabilité
Ce type de problème, dans les cours de probabilités, est appelé « tirage sans remise ».
En effet, l’exemple classique est le tirage de boules de couleurs placées dans des urnes, il s’agit alors d’évaluer la probabilité d’obtenir tant de boules rouges, noires… Dans notre problème, c’est « sans remise » car une boule tirée n’est pas replacée dans l’urne.
Pour nous ramener au classique des boules, on représente les 13 chapitres par des boules de couleurs. Les chapitres sélectionnés pour l’examen sont représentés par des boules blanches et les autres par des boules noires. Donc 13 boules, 6 blanches et 7 noires.
Soit n le nombre de boules tirées et X le nombre de boules blanches parmi les n tirées, je cherche n pour que :
P(X > 2) >= 9/10 ou plus facilement 1 – P(X=1) – p(X=0) >= 0.9
La loi hypergéométrique (http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_hyperg%C3%A9om%C3%A9trique) donne une formule pour P(X=k), et grâce à Excel, qui propose la formule, on trouve que pour n = 5, p(X>2) = 0.82 et pour n = 6, p(X>2)= 0.92.
La réponse est donc 6 chapitres.
2/ Façon dénombrement
Il s’agit d’une approche classique en probabilités : c’est le décompte des cas possibles, puis des cas favorables. La probabilité étant le rapport des deux.
On a 13 chapitres, et 6 sont tirés pour l’examen. La formule des combinaisons de « k parmi n » est :
n! / k!(n-k)!
Soit 1716 combinaisons différentes possibles à l’examen.
Pour trouver le nombre de combinaisons avec au moins 2 chapitres révisés, nous allons passer par le complémentaire : toutes les combinaisons, moins celles avec 0 ou 1 chapitre révisé.
Nombre de tirages avec aucun chapitre révisé : c’est le nombre de tirages de 6 chapitres parmi les 13-r non révisés :
(13-r)! / 6!(13-r-6)!
Pour un chapitre donné révisé : nombre de tirages de 5 chapitres parmi les 13-r non révisés :
(13-r)! / 5!(13-r-5)!
Ceci est valable pour les r chapitres révisés, donc les combinaisons se s’élèvent à : r * (13-r)! / 5!(13-r-5)!
On intègre la formule sous Excel, et on constate que c’est en atteignant les 6 chapitres révisés qu’on dépasse le seuil des 9/10 exigés.
3/ Approche par simulation
Dans cette approche, on construit un simulateur de tirages dans Excel, on simule aussi les choix de chapitres révisés, pour chaque nombre de chapitres révisés, et l’on simule un grand nombre de fois. On observe alors que pour 6 chapitres révisés la probabilité devient supérieure à 9/10.
Cette approche est surtout utile dans les cas où des comportements difficiles à modéliser mathématiquement sont présents. Par exemple, si l’on connaissait le nom des chapitres, et que l’on savait que l’examinateur ne choisirait pas deux chapitres comportant un même terme dans son titre… il serait bien difficile de répondre directement, par contre, une simulation permet d’intégrer ces règles complexes, avec assez peu d’efforts.